如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用$8$分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D$的行程，若上、下行速度都是$3$米$/$分钟，横行速度是$4$米$/$分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形$ABCD$的面积为$72m^{2}$，而且机器人走的路线较短？

如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用$8$分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D$的行程，若上、下行速度都是$3$米$/$分钟，横行速度是$4$米$/$分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形$ABCD$的面积为$72m^{2}$，而且机器人走的路线较短？

设安排机器人上行的时间为$x$分钟，则下行的时间为$x$分钟，横行的时间为$\left(8-2x\right)$分钟，

根据题意得：

$3x\times 4\left(8-2x\right)=72$，

解得$x=1$或$x=3$，

当$x=1$时，机器人走的路程为：

$2\times 3\times 3+4\times \left(8-2\times 1\right)=30(米)$；

当$x=3$时，机器人走的路程为：

$2\times 3\times 3+4\times \left(8-2\times 3\right)=26(米)$，

$\because 26 \lt 30$，

$\therefore $取$x=3$，从而$8-2x=2$，

$\therefore $安排上、下行和横行的时间分别为$3$分钟，$3$分钟，$2$分钟.