大江东产业集聚区某中学李老师为学校开展的“喜迎$G20$峰会”演讲比赛购买奖品，回到学校向总务处王主任交账时说：“我买了两类书，共$105$本，单价分别为$8$元和$12$元，买书前我领取了$1400$元，现还剩余$318$元，”王主任算了算觉得不对，就说：李老师你搞错了.（1）请同学们用所学知识解释李老师为什么搞错了？（2）李老师急忙拿出发票，发现原来还多买了一支水笔，但水笔的单价写得模糊不清，李老师只记得水笔价格为小于$8$的正整数，则这支水笔单价应为多少元？

大江东产业集聚区某中学李老师为学校开展的“喜迎$G20$峰会”演讲比赛购买奖品，回到学校向总务处王主任交账时说：“我买了两类书，共$105$本，单价分别为$8$元和$12$元，买书前我领取了$1400$元，现还剩余$318$元，”王主任算了算觉得不对，就说：李老师你搞错了.（1）请同学们用所学知识解释李老师为什么搞错了？（2）李老师急忙拿出发票，发现原来还多买了一支水笔，但水笔的单价写得模糊不清，李老师只记得水笔价格为小于$8$的正整数，则这支水笔单价应为多少元？

$\left(1\right) $设$8$元的买了$x$本，$12$元的是$\left(105-x\right)$本

$\therefore $一共花了：$8x+12\times \left(105-x\right)=1400-318$，

$8x-12x+1260=1082$，

$4x=178$，

$x=44.5($不符合题意)。

$\therefore $不能整除，所以错了；

（2）设买的$8$元的书为$x$本，那么$12$的书为$\left(105-x\right)$本，水笔为$a$元，

$\therefore 1400-8x-12\left(105-x\right)-a=318$.

$4x-a=178$

$x=\dfrac{178+a}{4}$

$x=44+\dfrac{2+a}{4}$

又$x$为正整数，且$a$为小于$8$正整数

$\therefore \left(2+a\right)$必须被$4$整数.

$\therefore a=2$或$6$.

$\therefore $水笔的价格为$2$元或$6$元