Simone如图，点$E$，$F$，$G$，$H$分别是四边形$ABCD$的边$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点，则下列说法：
的有关信息介绍如下：
$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$AD$的中点，$\therefore EH$是$\triangle ABD$的中位线，$FG$是$\triangle CBD$的中位线，$EF$是$\triangle ABC$的中位线，$\therefore EH$∥$BD$，$EH=\frac{1}{2}BD,FG$∥$BD$，$FG=\frac{1}{2}BD,EF$∥$AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，$\therefore EH$∥$FG$，$EH=FG$，$\therefore $四边形$EFGH$是平行四边形，①$\because AC=BD$，$\therefore EH=EF$，$\therefore $平行四边形$EFGH$是菱形，故①错误；②$\because AC\bot BD$，$\therefore EF\bot EH$，$\therefore \angle FEH=90^{\circ}$，$\therefore $平行四边形$EFGH$是矩形，故②错误；③若四边形$EFGH$是菱形，则$AC=BD$，故③错误；④对角线$AC=BD$，且$AC\bot BD$时，中点四边形$EFGH$是正方形，故④正确，故选：$A$.
